\(\int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx\) [46]

Optimal result

Integrand size = 22, antiderivative size = 137 \[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=-\frac {2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^3 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 d^4 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5} \]

[Out]

-2*I*d*(d*x+c)^3/b^2-2*d*(d*x+c)^3*cot(b*x+a)/b^2-1/2*(d*x+c)^4*csc(b*x+a)^2/b+6*d^2*(d*x+c)^2*ln(1-exp(2*I*(b
*x+a)))/b^3-6*I*d^3*(d*x+c)*polylog(2,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4+3*d^4*polylog(3,exp(2*I*(b*x+a)))/b^5

Rubi [A] (verified)

Time = 0.27 (sec) , antiderivative size = 137, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 7, number of rules used = 7, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.318, Rules used = {4495, 4269, 3798, 2221, 2611, 2320, 6724} \[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=\frac {3 d^4 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}-\frac {6 i d^3 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {2 i d (c+d x)^3}{b^2} \]

[In]

Int[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2,x]

[Out]

((-2*I)*d*(c + d*x)^3)/b^2 - (2*d*(c + d*x)^3*Cot[a + b*x])/b^2 - ((c + d*x)^4*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (6*d^2*
(c + d*x)^2*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - ((6*I)*d^3*(c + d*x)*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (3
*d^4*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^5

Rule 2221

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m/(b*f*g*n*Log[F]))*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x]
- Dist[d*(m/(b*f*g*n*Log[F])), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3798

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I*((c + d*x)^(m + 1)/(d*(
m + 1))), x] - Dist[2*I, Int[(c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*(E^(2*I*(e + f*x))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x))))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 4269

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(c + d*x)^m)*(Cot[e + f*x]/f), x
] + Dist[d*(m/f), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 4495

Int[Cot[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csc[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[
(-(c + d*x)^m)*(Csc[a + b*x]^n/(b*n)), x] + Dist[d*(m/(b*n)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csc[a + b*x]^n, x], x] /;
FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {(2 d) \int (c+d x)^3 \csc ^2(a+b x) \, dx}{b} \\ & = -\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {\left (6 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \cot (a+b x) \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {\left (12 i d^2\right ) \int \frac {e^{2 i (a+b x)} (c+d x)^2}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {\left (12 d^3\right ) \int (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3} \\ & = -\frac {2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^3 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {\left (6 i d^4\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4} \\ & = -\frac {2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^3 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {\left (3 d^4\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(2,x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5} \\ & = -\frac {2 i d (c+d x)^3}{b^2}-\frac {2 d (c+d x)^3 \cot (a+b x)}{b^2}-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {6 d^2 (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {6 i d^3 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac {3 d^4 \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(512\) vs. \(2(137)=274\).

Time = 6.64 (sec) , antiderivative size = 512, normalized size of antiderivative = 3.74 \[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=-\frac {(c+d x)^4 \csc ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {d^4 e^{i a} \csc (a) \left (2 b^3 e^{-2 i a} x^3+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )-6 b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-6 b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )+6 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )+6 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )\right )}{b^5}+\frac {6 c^2 d^2 \csc (a) (-b x \cos (a)+\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a))}{b^3 \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}+\frac {2 \csc (a) \csc (a+b x) \left (c^3 d \sin (b x)+3 c^2 d^2 x \sin (b x)+3 c d^3 x^2 \sin (b x)+d^4 x^3 \sin (b x)\right )}{b^2}-\frac {6 c d^3 \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \arctan (\tan (a))} x^2+\frac {\left (i b x (-\pi +2 \arctan (\tan (a)))-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 (b x+\arctan (\tan (a))) \log \left (1-e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \arctan (\tan (a)) \log (\sin (b x+\arctan (\tan (a))))+i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt {1+\tan ^2(a)}}\right )}{b^4 \sqrt {\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}} \]

[In]

Integrate[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]*Csc[a + b*x]^2,x]

[Out]

-1/2*((c + d*x)^4*Csc[a + b*x]^2)/b - (d^4*E^(I*a)*Csc[a]*((2*b^3*x^3)/E^((2*I)*a) + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*
a))*x^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b*(1 -
E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b*(1 - E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] + (6
*I)*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))] + (6*I)*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x)
)]))/b^5 + (6*c^2*d^2*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b^3*(Cos[a]^2 +
Sin[a]^2)) + (2*Csc[a]*Csc[a + b*x]*(c^3*d*Sin[b*x] + 3*c^2*d^2*x*Sin[b*x] + 3*c*d^3*x^2*Sin[b*x] + d^4*x^3*S
in[b*x]))/b^2 - (6*c*d^3*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*L
og[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]]
+ 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/S
qrt[1 + Tan[a]^2]))/(b^4*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

Maple [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 715 vs. \(2 (127 ) = 254\).

Time = 1.82 (sec) , antiderivative size = 716, normalized size of antiderivative = 5.23

method	result	size
risch	\(-\frac {12 i d^{4} \operatorname {polylog}\left (2, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{4}}+\frac {2 b \,d^{4} x^{4} {\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+8 b c \,d^{3} x^{3} {\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+12 b \,c^{2} d^{2} x^{2} {\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+8 b \,c^{3} d x \,{\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}-4 i d^{4} x^{3} {\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+2 b \,c^{4} {\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}-12 i c \,d^{3} x^{2} {\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}-12 i c^{2} d^{2} x \,{\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+4 i d^{4} x^{3}-4 i c^{3} d \,{\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}+12 i c \,d^{3} x^{2}+12 i c^{2} d^{2} x +4 i c^{3} d}{b^{2} \left ({\mathrm e}^{2 i \left (x b +a \right )}-1\right )^{2}}+\frac {12 d^{4} \operatorname {polylog}\left (3, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{5}}+\frac {12 d^{4} \operatorname {polylog}\left (3, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{5}}-\frac {24 i d^{3} c x a}{b^{3}}+\frac {6 d^{4} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x^{2}}{b^{3}}+\frac {6 d^{4} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right ) x^{2}}{b^{3}}-\frac {12 d^{4} a^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{5}}+\frac {6 d^{4} a^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}-1\right )}{b^{5}}-\frac {6 d^{4} \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a^{2}}{b^{5}}+\frac {6 d^{2} c^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right )}{b^{3}}-\frac {12 d^{2} c^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{3}}+\frac {6 d^{2} c^{2} \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}-1\right )}{b^{3}}-\frac {4 i d^{4} x^{3}}{b^{2}}+\frac {8 i d^{4} a^{3}}{b^{5}}+\frac {12 d^{3} c \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) a}{b^{4}}+\frac {12 d^{3} c \ln \left (1-{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{3}}+\frac {12 d^{3} c \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}+1\right ) x}{b^{3}}+\frac {24 d^{3} c a \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {12 d^{3} c a \ln \left ({\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}-1\right )}{b^{4}}-\frac {12 i d^{3} c \operatorname {polylog}\left (2, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}-\frac {12 i d^{4} \operatorname {polylog}\left (2, -{\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right ) x}{b^{4}}+\frac {12 i d^{4} a^{2} x}{b^{4}}-\frac {12 i d^{3} c \,x^{2}}{b^{2}}-\frac {12 i d^{3} c \,a^{2}}{b^{4}}-\frac {12 i d^{3} c \operatorname {polylog}\left (2, {\mathrm e}^{i \left (x b +a \right )}\right )}{b^{4}}\)	\(716\)

[In]

int((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

-12*I*d^4/b^4*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x+2*(b*d^4*x^4*exp(2*I*(b*x+a))+4*b*c*d^3*x^3*exp(2*I*(b*x+a))+6*b*c^2
*d^2*x^2*exp(2*I*(b*x+a))+4*b*c^3*d*x*exp(2*I*(b*x+a))-2*I*d^4*x^3*exp(2*I*(b*x+a))+b*c^4*exp(2*I*(b*x+a))-6*I
*c*d^3*x^2*exp(2*I*(b*x+a))-6*I*c^2*d^2*x*exp(2*I*(b*x+a))+2*I*d^4*x^3-2*I*c^3*d*exp(2*I*(b*x+a))+6*I*c*d^3*x^
2+6*I*c^2*d^2*x+2*I*c^3*d)/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2+12*d^3/b^4*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+12*d^3/b^3*c*ln(1-ex
p(I*(b*x+a)))*x+12*d^3/b^3*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+24*d^3/b^4*c*a*ln(exp(I*(b*x+a)))-12*d^3/b^4*c*a*ln(exp(I*
(b*x+a))-1)-12*I*d^3/b^4*c*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))+6*d^4/b^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2+6*d^4/b^3*ln(exp(I*(b
*x+a))+1)*x^2-12*d^4/b^5*a^2*ln(exp(I*(b*x+a)))+6*d^4/b^5*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-6*d^4/b^5*ln(1-exp(I*(b*x+a
)))*a^2+6*d^2/b^3*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)-12*d^2/b^3*c^2*ln(exp(I*(b*x+a)))+6*d^2/b^3*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1
)-4*I*d^4/b^2*x^3+8*I*d^4/b^5*a^3-12*I*d^4/b^4*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+12*I*d^4/b^4*a^2*x-12*I*d^3/b^2*c*
x^2-12*I*d^3/b^4*c*a^2-12*I*d^3/b^4*c*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))-24*I*d^3/b^3*c*x*a+12*d^4*polylog(3,-exp(I*(b*
x+a)))/b^5+12*d^4*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))/b^5

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1075 vs. \(2 (124) = 248\).

Time = 0.30 (sec) , antiderivative size = 1075, normalized size of antiderivative = 7.85 \[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/2*(b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + b^4*c^4 + 4*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^
3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + b^3*c^3*d)*cos(b*x + a)*sin(b*x + a) - 12*(-I*b*d^4*x - I*b*c*d^3 + (I*b*d^4*x + I*b
*c*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 12*(I*b*d^4*x + I*b*c*d^3 + (-I*b*d^4*x - I*b*c
*d^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 12*(I*b*d^4*x + I*b*c*d^3 + (-I*b*d^4*x - I*b*c*d
^3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) - 12*(-I*b*d^4*x - I*b*c*d^3 + (I*b*d^4*x + I*b*c*d^
3)*cos(b*x + a)^2)*dilog(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) - 6*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - (b^2
*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 6*(b^2*d^4*x^
2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + b^2*c^2*d^2)*cos(b*x + a)^2)*log(cos(b*x + a)
- I*sin(b*x + a) + 1) - 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4 - (b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*cos(b*
x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) + 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 6*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4 - (b^2*c^
2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*log(-1/2*cos(b*x + a) - 1/2*I*sin(b*x + a) + 1/2) - 6*(b^2*d^4*
x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4 - (b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4)*cos(b*x +
a)^2)*log(-cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a) + 1) - 6*(b^2*d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4 - (b^2*
d^4*x^2 + 2*b^2*c*d^3*x + 2*a*b*c*d^3 - a^2*d^4)*cos(b*x + a)^2)*log(-cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a) + 1) + 12*
(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3, cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) + 12*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3
, cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)) + 12*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3, -cos(b*x + a) + I*sin(b*x + a)) +
12*(d^4*cos(b*x + a)^2 - d^4)*polylog(3, -cos(b*x + a) - I*sin(b*x + a)))/(b^5*cos(b*x + a)^2 - b^5)

Sympy [F(-1)]

Timed out. \[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=\text {Timed out} \]

[In]

integrate((d*x+c)**4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)**3,x)

[Out]

Timed out

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 4551 vs. \(2 (124) = 248\).

Time = 0.55 (sec) , antiderivative size = 4551, normalized size of antiderivative = 33.22 \[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/2*(8*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(
2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*
a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*c^3*d/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x +
4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)
^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b) - 24*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*
x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin
(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*a*c^2*d^2/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) -
1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin
(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^2) + 24*(4*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(
b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)
*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))
*a^2*c*d^3/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b
*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^3) - 8*(4
*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a)^2 - (2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + sin(2*b*x + 2
*a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) - (2*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a) - cos(2*b*x + 2*a) + 1)*s
in(4*b*x + 4*a) + sin(2*b*x + 2*a))*a^3*d^4/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2
- 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*
cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^4) + 6*(8*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 8*(b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 4*(b*x +
a)^2*cos(2*b*x + 2*a) - 4*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*(
2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*
sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*
x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b
*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x +
2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 4*((b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a) + b*x -
(b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a)*sin(4*b*x + 4*a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*c^2*d^2/((2*(2*cos(2*b*x + 2*
a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)
*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^2) - 12*(8*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2
+ 8*(b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 4*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) - 4*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x
+ a)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 -
4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos
(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos
(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x
+ 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) +
1) - 4*((b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a) + b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x + 2*a) + a)*sin(4*b*x + 4*a) + 4*(b*x + a)*s
in(2*b*x + 2*a))*a*c*d^3/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*
a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) -
1)*b^3) + 6*(8*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + 8*(b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 4*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2
*a) - 4*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*cos(4*b*x + 4*a) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a)
- 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*si
n(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*
x + a) + 1) + (2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x + 4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4
*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) - 4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*log(cos(b
*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 4*((b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a) + b*x - (b*x + a)*cos(2*b*x
+ 2*a) + a)*sin(4*b*x + 4*a) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*a^2*d^4/((2*(2*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*cos(4*b*x +
4*a) - cos(4*b*x + 4*a)^2 - 4*cos(2*b*x + 2*a)^2 - sin(4*b*x + 4*a)^2 + 4*sin(4*b*x + 4*a)*sin(2*b*x + 2*a) -
4*sin(2*b*x + 2*a)^2 + 4*cos(2*b*x + 2*a) - 1)*b^4) - c^4/sin(b*x + a)^2 + 4*a*c^3*d/(b*sin(b*x + a)^2) - 6*a
^2*c^2*d^2/(b^2*sin(b*x + a)^2) + 4*a^3*c*d^3/(b^3*sin(b*x + a)^2) - a^4*d^4/(b^4*sin(b*x + a)^2) + 2*(6*((b*x
+ a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) + ((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*
a) - 2*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(-I*b*c*d^
3 + I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(I*b*c*d^3 - I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x
+ 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) - 6*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) + ((b*x
+ a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x +
a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(I*b*c*d^3 - I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*(b*x
+ a)^2*d^4 + 2*(-I*b*c*d^3 + I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) -
4*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2)*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(I*(b*x + a)^4*d^4 + 2*(2*I*b*c*d^3
+ (-2*I*a - 1)*d^4)*(b*x + a)^3 - 6*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) - 12*(b*c*d^3 + (b*x + a)
*d^4 - a*d^4 + (b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*
b*x + 2*a) + (I*b*c*d^3 + I*(b*x + a)*d^4 - I*a*d^4)*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*b*c*d^3 - I*(b*x + a)*d^4 + I*a*
d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) - 12*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4 + (b*c*d^3 + (b*x + a)*d^
4 - a*d^4)*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*b*c*d^3 + I*(b*x + a)*
d^4 - I*a*d^4)*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*b*c*d^3 - I*(b*x + a)*d^4 + I*a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x
+ I*a)) - 3*(I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(I*b*c*d^3 - I*a*d^4)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(I*b*c*d^3 - I*a*d
^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(-I*b*c*d^3 + I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a)
- ((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^
4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - 3*(I*(b*x + a)^2*d
^4 + 2*(I*b*c*d^3 - I*a*d^4)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(I*b*c*d^3 - I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4
*a) + 2*(-I*(b*x + a)^2*d^4 + 2*(-I*b*c*d^3 + I*a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c
*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*((b*x + a)^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*
a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) - 12*(I*d^4*cos(4*b*x + 4*a) - 2*I*d^4*cos(2*b*x
+ 2*a) - d^4*sin(4*b*x + 4*a) + 2*d^4*sin(2*b*x + 2*a) + I*d^4)*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) - 12*(I*d^4*cos(
4*b*x + 4*a) - 2*I*d^4*cos(2*b*x + 2*a) - d^4*sin(4*b*x + 4*a) + 2*d^4*sin(2*b*x + 2*a) + I*d^4)*polylog(3, e^
(I*b*x + I*a)) - 4*(I*(b*x + a)^3*d^4 + 3*(I*b*c*d^3 - I*a*d^4)*(b*x + a)^2)*sin(4*b*x + 4*a) + 2*((b*x + a)^4
*d^4 + 2*(2*b*c*d^3 - (2*a - I)*d^4)*(b*x + a)^3 - 6*(-I*b*c*d^3 + I*a*d^4)*(b*x + a)^2)*sin(2*b*x + 2*a))/(-I
*b^4*cos(4*b*x + 4*a) + 2*I*b^4*cos(2*b*x + 2*a) + b^4*sin(4*b*x + 4*a) - 2*b^4*sin(2*b*x + 2*a) - I*b^4))/b

Giac [F]

\[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=\int { {\left (d x + c\right )}^{4} \cos \left (b x + a\right ) \csc \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate((d*x+c)^4*cos(b*x+a)*csc(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^4*cos(b*x + a)*csc(b*x + a)^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (c+d x)^4 \cot (a+b x) \csc ^2(a+b x) \, dx=\int \frac {\cos \left (a+b\,x\right )\,{\left (c+d\,x\right )}^4}{{\sin \left (a+b\,x\right )}^3} \,d x \]

[In]

int((cos(a + b*x)*(c + d*x)^4)/sin(a + b*x)^3,x)

[Out]

int((cos(a + b*x)*(c + d*x)^4)/sin(a + b*x)^3, x)